Community Tip - Your Friends List is a way to easily have access to the community members that you interact with the most! X
Then the solution would be:
for which y(x) is close to a quadratic function and keeps both alpha and beta almost linear with x,
for small values of Xend (up to 1),
but as Xend grows larger y(x) deviates more from quadratic and alpha and beta become non-linear.
Luc
Возможно в системе уравнений возникает неопределенность. При альфа=0, бета=0, получаем у'=0, у и х тоже должны стремиться к нулю. Здесь возникнет неопределенность 0*бесконечность. Дальше вопрос в том каким алгоритмом пользуется odesolve, возможно алгоритм не справляется. Может быть, не начинать решение с х=0? Добавить какую-нибудь дельта...
Thanks, Alex!
But is the system of equations correct?
The geometry?
I think so.
Alex Sokolov wrote:
I think so.
So=correct?
I don't think they are correct. tan(alpha) is not equal to y/x, it's equal to (y + a little bit)/x. I think it's correct in the attached worksheet, but now I can't get rid of the divide by zero error.
Isn't it like this (oops, corrected):
Luc
Then the solution would be:
for which y(x) is close to a quadratic function and keeps both alpha and beta almost linear with x,
for small values of Xend (up to 1),
but as Xend grows larger y(x) deviates more from quadratic and alpha and beta become non-linear.
Luc
One more correction: I should have stated:
(X-axis, not Y-axis)
Luc
One solution in Maple.
But in symbolic solution Luc is more powerful as Maple
LucMeekes wrote:
for which y(x) is close to a quadratic function
Luc
I think better a circle function. A lot of people think that a loupe has a part of the sphere as a surface:
A lot of people think that a loupe has a part of the sphere as a surface
That's because most of them do. An aspheric surface is much harder to grind than a spherical surface, so almost all lenses have spherical surfaces. The correct aspheric surface is a parabola. Your surface is not parabolic because (as I have already pointed out), the derivative is wrong (however, I now realize my expression for the derivative is also wrong. I made a mistake somewhere)
That's why I compared the loupe shape with the parabola y=(x^2)/F...
LucMeekes wrote:
That's why I compared the loupe shape with the parabola y=(x^2)/F...
I have no time to think and ask direct y(x):=f(F,n) not only F:
Valery, now I have a problem.
I used x running from 0 and up, to draw only half of the curve.
You've used |x| as an argument to the function y to get the curve on both sides of the y-axis.
My problem lies in the fact that for some reason the results of the Odesolve don't deliver the 'correct' values of y for negative values of x.
Is this a limitation of Odesolve, or is there (still) something wrong with the set of differential equations?
Luc
No problem if you know y(-x.end)
With the solution of the optic problem as presented her Re: asymptote + odesolve
we can assess which is the better approximation for the lens (if it is 'thin'), the sphere or the parabola:
Note that ypc is the function that descibes the convex shape of the plano-convex lens.
sy tries to approximate it with a sphere, using a best fit number parameter s.
sys tries to approximate it with a sphere using a parameter in terms of F and n.
py tries to approximate it with a parabola, using a best fit number parameter p.
pys tries to approximate it with a parabola using a parameter in terms of F and n.
The graph plots thye differences between the approximations and the real thing (ypc).
The red curve (straight line) is the difference between ypc and ypc: 0 of course.
The blue curves (full and dotted) give the errors in the spherical approximation,
the magenta and green(dotted) line give the errors in the parabolic approximation.
Mirror: see Re: Parabola-Mirror - an error?
Luc
Is it a parabola?
PS Galileo thought that the catenary (the chain function) - a parabola!
I looked in my optics books. I thought the surface should be parabolic, but now I'm not so sure about that. For a lens there doesn't seem to be a simple mathematical expression for the surface that brings all parallel rays to an on-axis point. A plano-convex lens is usually used the other way round though (focus on the plano side), which would certainly change the convex surface.
Richard Jackson wrote:
I looked in my optics books
I have a dream to write the book "Optic with Mathcad" with the book site on this forum!
One fine story about a lens by Karel Čapek - Wikipedia, the free encyclopedia
Истории о взломщике и поджигателе
...
— Бывают такие сметливые люди, надо отдать им должное, — задумчиво сказал Малый. — Я читал об одном интересном случае, возможно, некоторые из вас о нем не знают, так вот, послушайте. Дело было где-то в Штирии, жил там шорник по имени Антон, а по фамилии не то Губер, не то Фогт или Мейер, в общем, этакая заурядная немецкая фамилия. Так вот, в день своих именин сидел этот шорник за праздничным столом в семейном кругу. Кстати, в этой Штирии плохо едят даже по праздникам, не то что у нас. Я, например, слышал, что у них едят даже каштаны. Так вот, этот шорник сидит себе после обеда со своим семейством, и вдруг кто-то стучит в окно.
— Сосед, у вас крыша горит!
Шорник выбегает на улицу — и верно, крыша у него вся в огне. Ну, конечно, дети ревут, жена с плачем выносит стенные часы. Много я видел пожаров и всегда замечал, что люди теряют голову и торопятся спасти что-нибудь ненужное, вроде часов, мельницы для кофе или клетки с канарейкой. А потом только спохватываются, что в горящем доме остались бабушка, одежда и всякие ценности.
Сбежались соседи, принялись тушить пожар, но больше мешали друг другу. Потом приехали пожарные. Сами знаете, пожарному надо переодеться, прежде чем ехать на пожар. Тем временем занялось соседнее строение, и к вечеру пятнадцать домов сгорели дотла.
Настоящий пожар можно, знаете ли, увидеть только в деревне или в небольшом городке. Крупный город — совсем другое дело: там вы смотрите не на самый пожар, а на трюки пожарников. А лучше всего самому помогать тушить или хотя бы советовать тем, кто тушит. Гасить пожар — увлекательная работа: огонь так и шипит, так и фыркает… А вот носить воду из реки никому не нравится.
Странная у человека натура: если он видит какое-нибудь бедствие, ему хочется, чтобы оно было грандиозным. Большой пожар или большое наводнение как-то встряхивают человека. Ему кажется, что он получил от жизни что-то новое. А может быть, в нем просто говорит языческое благоговение перед стихией? Не знаю.
На следующий день там было, как… ну, словом, как на пожарище, лучше уж не скажешь. Огонь — красивая штука, но вид пожарища ужасен. Все равно как в любви. Смотришь беспомощно и думаешь, что от такой беды век не оправишься… Был там молодой полицейский, он расследовал причины пожара.
— Господин вахмистр, — сказал ему шорник Антон, — головой ручаюсь, что это поджог. Почему бы пожару случиться именно в день моих именин, когда я сидел за столом? В толк, однако, не возьму, кому это вздумалось мстить мне. Зла я никому не делаю, политикой не занимаюсь. Просто не знаю, кто мог иметь на меня зуб.
Был полдень, солнце светило вовсю. Вахмистр ходил по пожарищу, думая: «Черт теперь разберет, отчего загорелось».
— Слушайте, Антон, — спросил он вдруг, — а что это такое блестит у вас наверху, вон на той балке?
— Там было слуховое окно, — отвечал шорник. — Наверное, какой-нибудь гвоздик.
— Нет, это не гвоздик, — возразил полицейский. — Больше похоже на зеркальце.
— Откуда там быть зеркальцу? — удивился шорник. — На чердаке у меня только солома.
— Нет, это зеркальце, — отвечает вахмистр. — Я вам его покажу.
Приставил он пожарную лестницу к обгоревшей балке, влез наверх и говорит:
— Так вот оно что, Антон! Это не гвоздик и не зеркальце, а круглое стеклышко. Оно прикреплено к балке. Для чего оно там у вас?
— А бог его знает, — ответил шорник. — Верно, дети играли.
Полицейский рассматривал стеклышко да вдруг как вскрикнет:
— Ах, черт, оно жжется! Эго что же такое? — И потер себе кончик носа. — Тьфу, пропасть! — воскликнул он снова.
— Теперь оно мне руку обожгло. Ну-ка, Антон, живо подайте мне сюда клочок бумаги!
Шорник протянул ему листок из блокнота. Вахмистр подержал бумажку под стеклом
— Так вот, Антон, — сказал он через минуту, — по-моему, дело ясное.
Он слез с лестницы и сунул листок под нос шорнику. В листке была прожжена круглая дырочка, и края ее еще тлели.
— К вашему сведению, Антон, — продолжал вахмистр, — это стеклышко не что иное, как двояковыпуклая линза, или лупа. А теперь я хотел бы знать, кто укрепил эту лупу здесь, на балке, как раз у охапки соломы. И говорю вам, Антон, тот, кто это сделал, уйдет отсюда в наручниках.
— Господи Иисусе! — воскликнул шорник. — У нас и лупы-то в доме не было. Э-э, погодите-ка, — спохватился он.
— У меня был в ученье мальчишка, Зепп по имени, он вечно возился с такими штуками. Я его прогнал, потому что от него не было толку, в голове ветер да какие-то дурацкие опыты. Неужели пожар устроил этот чертов мальчишка?! Нет, этого не может быть, господин вахмистр, ведь я прогнал его в начале февраля. Бог весть, где он теперь, сюда с тех пор он ни разу не показал носу.
— Уж я-то дознаюсь, чья это лупа, — сказал вахмистр. — Дайте-ка телеграмму в город, пусть пошлют сюда еще двух полицейских. А лупу чтобы никто пальцем не трогал. Первым делом надо найти мальчишку.
Ну, того, конечно, нашли, он был в ученье у какого-то корзинщика в другом городе. Едва полицейский вошел в мастерскую, мальчишка затрясся, как лист.
— Зепп! — крикнул на него вахмистр. — Где ты был тринадцатого июня?
— Здесь был здесь, — бормочет мальчик. — Я здесь с пятнадцатого февраля и никуда не отлучался, у меня свидетели есть.
— Он не врет, — сказал хозяин. — Я могу подтвердить, потому что он живет у меня и нянчит маленькою.
— Вот так история! — удивился вахмистр. — Значит, это не он.
— А в чем дело? — заинтересовался корзинщик.
— Да вот, — объясняет вахмистр, — есть подозрение, что тринадцатого июня, где-то там, у черта на куличках, он поджег дом шорника, — и половина деревни сгорела.
— Тринадцатого июня? — удивленно говорит корзинщик. — Слушайте-ка, это странно, как раз тринадцатого числа Зепп вдруг спрашивает меня. «Какое сегодня число? Тринадцатое, день святого Антонина? сегодня кое-что должно случиться…»
Мальчишка вдруг вскочил и хотел дать тягу, но вахмистр ухватил его за шиворот. По дороге в кутузку Зепп во всем сознался: он был зол на шорника за то, что тот не позволял ему делать опыты и лупил Зеппа, как Сидорову козу. Решив отомстить хозяину, мальчик рассчитал, где будет стоять солнце в полдень тринадцатого июня, в день именин шорника, и укрепил на чердаке лупу под таким углом, чтобы загорелась солома, а он, Зепп, к тому времени смоется подальше. Все это он подстроил еще в феврале и ушел от шорника.
И знаете что? Осмотреть эту лупу приезжал ученый астроном из Вены и долго качал головой, глядя, как точно она соответствует положению солнца в зените именно на тринадцатое июня «Это, говорит, изумительная сообразительность, если учесть, что у пятнадцатилетнего мальчишки не было никаких геодезических инструментов». Что было дальше с Зеппом, не знаю, но уверен, что из этого озорника вышел бы выдающийся астроном или физик. Вторым Ньютоном мог бы стать этот чертов мальчишка! В мире ни за что ни про что пропадает много изобретательности и замечательных дарований! У людей, знаете ли, хватает терпения искать алмазы в песке и жемчуг в море, а вот отыскивать дарования и таланты, чтобы они не пропадали впустую, это никому не придет в голову. А жаль!
Richard Jackson написал(а):
I looked in my optics books. I thought the surface should be parabolic, but now I'm not so sure
A lot of people in Russia thinks that the mirror must be not parabolic but hyperbolic.
Why?
There is very famous novel by Tolstoy not Leo but Alexey about one military mirror (a laser) - see please Engineer Garin's Hyperboloid | Trailer - YouTube
The trailer doesn't show anything about a mirror though
Richard Jackson написал(а):
The trailer doesn't show anything about a mirror though
Sorry - see please The Garin Death Ray - Wikipedia, the free encyclopedia
Charles H. Townes, the inventor of laser, said that his invention had been inspired by this novel of Alexey Tolstoy.
Sorry. Your derivative is correct. Nor sure what i was thinking.
The slope of the red line is equal to DeltaY/DeltaX. However, although DeltaX=x, DeltaY is not equal to y, because the red line does not intercept the y-axis at y=0. I believe the correct equation is:
I agree with Valery's other two equations.
According to the definition derivative
y'(x)=tg(a)
Can you create and solve this ODE
Good question, because that's the way a plano-convex lens is typically used.