System of Differential Equations - How to solve? - 2nd Edition

[vlehner]

Hello,

I have the same problems to solve a system of differential-equations with the solve-block like in tried in my thread: System of Differential Equations - How to solve?

See attachement please, I'm working with Prime 3.1.

Thank you for your efforts.

best regards, Volker

[vlehner]

Hi Stephan,

could you please post the File where you made your changes ?

What graphs did you get and can you imagine that the graphs should be a damped vibration because of friction and air-resistance?

you should take the latest sheets-not the one of the beginning of the threat.

THX, Volker

[sdidam]

Hallo Volker,

ich habs gerade nochmal versucht, stehe aber im Moment etwas auf dem Schlauch.

Ich darf ja ruhig auf Deutsch schreiben, weil ich gesehen habe, dass du das verstehst. Ich habe für meine Änderung die ursprüngliche Datei genommen. Ich würde aber sagen, dass an den Formeln etwas nicht in Ordnung war. Nicht nur am Syntax, sondern auch physikalisch. Eine Vermutung von mir ist auch, dass du gar kein gekoppeltes System von 2 DGLs benötigst, weil die Bewegung in x-Richtung und in y-Richtung durch die Beziehung der Parabelgleichung bereits miteinander gekoppelt ist.

Etwas ähnliches hast du ja auch bei der Pendelgleichung (siehe Wikipedia) nur auf einer Kreisbahn und ohne Reibung. Die Bewegung x(t) und y(t) sind da über die Kreisgleichung gekoppelt (ohne ein DGL-System und nur mit einer Differentialgleichung).

Weiter habe ich gelesen, dass du die Zentrifugalkraft mit berücksichtigt haben möchtest. Brauchst du das bei einer punktförmigen Masse? Ich glaube wenn die Masse nicht mehr punktförmig ist, und u.U. auch abrollen kann, bekommst du noch mehrere Probleme: Trägheitsmomente + Winkelbeschleunigung. Flüssigkeitsreibung am Umfang + Winkelgeschwindigkeit,... Eine punktförmige Masse heißt ja, dass die Masse in einem Punkt konzentriert ist, damit hat der Körper auch keinen Radius und damit auch keine Zentrifugalkraft, die wirken kann. Übrigens selbst bei einer Problemstellung mit einem nicht punktförmigen Körper, brauchst du, glaube ich, kein System aus DGLs. Eine reicht, die aber auch nicht unbedingt einfacher zu handhaben ist.

Der Ansatz von F.M. sieht aber generell nicht ganz verkehrt aus (für punktförmige Masse).

[vlehner]

Hallo Stephan,

Da hast du auch wieder recht- es geht auch mit einer DGL.

Was aber den Massepunkt anbelangt, erfährt dieser schon eine Zentrifugalkraft, weil die Bahn ja einen sogenannten Ortskrümmungsradius besitzt-deswegen musst du auch m*v^2/r in der Bewegung mitberücksichtigen (Der Körper rotiert nicht, bewegt sich aber auf sich ständig ändernden  Kurvenradien der Bahn). Diese Kraft drückt wiederum auf die Bahn was zur Folge hat, dass die Reibung zwischen Bahn und Körper erhöht wird.

Ich werde jetzt mal die Komponente der Massenträgheit in den Lagrangeschen Formalismus mit aufnehmen.

Es sind zu berücksichtigen (Für den Newtonschen Ansatz):

1. Zentrifugalkraft an der Ortskrümmung
2. Gleitreibung zwischen Körper und Bahn
3. Luftwiderstand
4. "Hangabtriebskraft"
5. Trägheitskraft des Körpers F=m*a

Es sind zu berücksichtigen (Für den Lagrangeschen Formalismus-nicht konservatives System!)

1. Kinetische Energie (Bewegungsenergie)
2. Kinetische Energie (Rotationsenergie)
3. Potentielle Energie
4. Reibung (welche aus Normalkraft und Zentrifugalkraft erzeugt wird) = Dissipative Kraft
5. Luftwiderstand = Dissipative Kraft
6. Als verallgemeinerte Koordinate wähle ich die x-Achse. Die y-Achse lässt sich durch die Kurvengleichung ausdrücken und für den Rotationswinkel kann man auch eine Umschreibung in x herleiten.

Bin ja mal gespannt was dabei herauskommt...

Grüße, Volker

...ps.: Bitte hängt Eure Dokumente an die Beiträge- dann kann man einfach besser kommunizieren- ist ja auch kein Geheimnis denke ich

[sdidam]

Hi,

wenn du wirklich so viele Einflüsse mitberücksichtigen willst, scheint mir die Aufgabenstellung schon etwas komplizierter zu sein. Wenn du den Lagrange benutzt, musst du ja die einzelnen Energiekomponenten ausrechnen. Ich würde mir den Zeitverlauf der einzelnen Komponenten auch mit plotten. Da kann man Probleme (Energiekonservation) sehen und auch ein gutes Systemverständnis erhalten.

[vlehner]

...Ich bin wieder einen Schritt weitergekommen:

Das ganze läuft jetzt periodisch ab, Massenträgheitsmoment wurde mitberücksichtigt.

Allerdings fehlt hier der Dämpfungscharakter.

Und JA! Ich will diese Einflüsse mitberücksichtigen, weil sie in der Natur ganz einfach in ähnlicher Form vorkommen!!!

Die einzelnen Energiekomponenten auszurechnen ist doch gar nicht so schwer. Das ist ja genau der Vorteil des Lagrangeschen Formalismus

Grüße, Volker

ps.: Ich arbeite jetzt mit Prime 4.0...Have Fun!

[-MFra-]

Hi Volker,

Aber war es nicht ein Punktförmige masse?

Dann ist es eine Kugel mit dem Radius r geworden....

Gruß

F.M.

[vlehner]

Ja es war schon eine punktförmige Masse.

Habe es mal mit einem realistischem Körper versucht um das ganze realistischer abzubilden

Gruß Volker

[vlehner · Accepted solution]

Setting the Air-resistance to a function below, allows a damped character of the curvation.

Now it's possible, that the force can take a correct effect into two directions.

[ValeryOchkov]

k*v(t)*|v(t)|

Or

k*v(t)^2*sign(v(t))

What is more quickly in calculation?

[vlehner]

both variants do need the same time. (elapsed time: 0'52.07'')

The expression k*v(t)*|v(t)| is easier to write and looks pretty cool.

Dunno like to much functions in terms of math.