Skip to main content
V
24-Ruby IV
ValeryOchkov24-Ruby IV
24-Ruby IV
June 9, 2019
Question

PDE, Old newsreel math equations, 1950

  • June 9, 2019
  • 4 replies
  • 3582 views

I was looking through an old newsreel and saw such a frame: a university teacher gives a task to a student.
Mathcad cannot solve this equation. And can you?

PDE-Photo.pngPDE.png

4 replies

V
24-Ruby IV
ValeryOchkov24-Ruby IVAuthor
24-Ruby IV
June 9, 2019

One  Mathcad Prime solution

PDE-solution.png

L
LucMeekes23-Emerald IV
23-Emerald IV
June 9, 2019

Simple, the answer is:

U(x,t)=phi(x)+t*psi(x).

 

Luc

    L
    LouP12-Amethyst
    12-Amethyst
    June 10, 2019

    Just to avoid typing Greek letters, let u(x,0)=p(x), ut(x,0) = q(x).

     

    The proposed solution u(x,t)=p(x)+t·q(x) doesn't check, since utt(x,t) ≡ 0, while uxx(x,t) = p’’(x)+t·q’’(x).

     

    The equation utt = uxx is the wave equation with velocity 1, so its general solution is  u(x,t) = af(x+t) + bg(x-t) for arbitrary functions f and g, and constants a, b.

     

    Add the initial conditions:

    p(x) = u(x,0) = af(x) + bg(x),                 (1)

    q(x) = ut(x,0) = af’(x) - bg’(x).               (2)

     

    Derivative of (1):  p’(x) = af’(x) + bg’(x). solve with (2) to get

     af’(x) = (1/2) [p’(x) + q(x)],

    bg’(x) = (1/2) [p’(x) - q(x)].

     

    Let h(x) be the integral of q(x). so that h’(x) = q(x). Then

    af(x) = (1/2) [p(x) + h(x)],

    bg(x) = (1/2) [p(x) - h(x)].

     

    Then

    u(x,t) = af(x+t) + bg(x-t) = (1/2) [p(x+t) + h(x+t) + p(x-t) - h(x-t)], where h'(x) = q(x).

     

    Check:

    u(x,0) = (1/2) [p(x) + h(x) + p(x) - h(x)] = p(x).

     

    ut(x,t) =  (1/2) [p’(x+t) + h’(x+t) – p’(x-t) + h’(x-t)],

    ut(x,0) =  (1/2) [p’(x) + h’(x) – p’(x) + h’(x)] = h’(x) = q(x).

     

    Lou

      L
      LucMeekes23-Emerald IV
      23-Emerald IV
      June 10, 2019

      You're right Lou.

      When substituting my U(x,t) into the PDE it didn't match. I should have done that before I answered (too quickly).

      Your derivation is superb!

      Luc

      -
      -MFra-21-Topaz II
      21-Topaz II
      June 10, 2019

      Hi,

      I have long solved the equation given with pdesolve, what do you think?

      pde example.jpg

        V
        24-Ruby IV
        ValeryOchkov24-Ruby IVAuthor
        24-Ruby IV
        June 11, 2019

        Thanks!

        I would like to insert this text in new editions of my Russian and English book.

        Can you translate it into English and/or add something?

        Задача о температурном поле плоской пластины, рассмотренная выше, была размещена на сайте пользователей Mathcad по адресу https://community.ptc.com/t5/PTC-Mathcad/PDE-Moscow-1950/m-p/613472 с просьбой найти аналитическое решение. У нас, как известно, решение было численное. Два посетителя сайта с сетевыми псевдонимами LucMeekes и LouP сделали попытку найти функцию двух аргументов, заложенную в уравнение, показанное на рис. 18.10. Предлагаем читателям оценить данное решение.

        Ремарка. В настоящее время размещение задач на специализированных сайтах Интернета стало одним из способов их решения. У человека нет способности или времени решить возникшую производственную (но не учебную!) задачу, он «вывешивает ее на сайте и ждет, когда кто-либо решит задачу или покажет пути ее решения. С учебными задачами тоже можно так поступать, но с особыми оговорками в том плане, что я, мол, получил задание от преподавателя, а преподаватель сам не знает, как приступить к решению, или у него нет времени заниматься мною… Интернет-технологии сейчас широко используются в образовательном процессе.

        V
        24-Ruby IV
        ValeryOchkov24-Ruby IVAuthor
        24-Ruby IV
        June 11, 2019

        One numerical solution

        PDE-solution-Girl.png

        Terms & ConditionsAccessibility statement